ระบบเลขฐาน

เลขฐาน หมายถึงกลุ่มข้อมูลที่มีจำนวนหลัก (Digit) ตามชื่อของฐาน
นั้นๆเช่น เลขฐานสอง ฐานแปด และฐานสิบ ประกอบด้วยข้อมูลตัวเลขจำนวนสองหลัก (0-1) แปดหลัก (0-7) และสิบหลัก (0-9) ตามลำดับ ดังรูปในตารางที่ 1
ในระบบคอมพิวเตอร์มีการใช้ระบบเลขฐาน 4 แบบ ประกอบด้วย
1).เลขฐานสอง (Binary Number)
2).เลขฐานแปด (Octal Number)
3).เลขฐานสิบ (Decimal Number)
4).เลขฐานสิบหก (Hexadecimal Number)

ตารางที่ 1 แสดงจำนวนตัวเลข ของเลขฐานต่างๆ



1).เลขฐานสอง

คือตัวเลขที่มีค่าไม่ซ้ำกันสองหลัก ( 0 และ 1) เป็นเลขฐานเดียวที่เข้ากันได้กับ Hardware ของเครื่องคอมพิวเตอร์ได้โดยตรง เพราะการใช้เลขฐานอื่น จะสร้างความยุ่งยากให้กับเครื่องคอมพิวเตอร์อย่างมาก เช่น เลขฐานสิบมีตัวเลขที่เป็นสถานะที่ต่างกันถึง 10 ตัว ในขณะที่ระบบไฟฟ้ามีเพียง 2 สถานะ ซึ่งในช่วงเวลาหนึ่งๆมีเพียงสถานะเดียวเท่านั้น แต่ละหลักของเลขฐานสอง เรียกว่า Binary Digit (BIT)

2).เลขฐานแปด

เลขฐานแปด มีความสัมพันธ์กับเลขฐานสอง คือ เลขฐานสองจำนวน 3 หลัก แทนด้วยเลข
ฐานแปด 1 หลัก ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนเลขฐานสอง 6 บิท แทนด้วยเลขฐานแปด 2 บิท การใช้เลขฐานแปดแทนเลขฐานสองทำให้จำนวนบิทสั้นลง

3).เลขฐานสิบ

คือตัวเลขที่มีค่าไม่ซ้ำกันสิบหลัก (0,1,2,…,9) เป็นเลขฐานที่มนุษย์คุ้นเคยและใช้ในชีวิตประจำวันมากที่สุด ตัวเลขที่มีจำนวนมากกว่า 9 ให้ใช้ 10 ซึ่งเป็นการกลับไปใช้เลข 1 และ 0 อีก เพียงแต่ค่าของ 1 เปลี่ยนไปเป็น 10 เท่าของตัวมันเอง เช่น 333 (สามร้อยสามสิบสาม) แม้จะใช้ตัวเลข 3 ทั้งหมด แต่ตำแหน่งของตัวเลขย่อมมีความหมายตามตำแหน่งของแต่ละหลักนั้น กล่าวคือ หลักหน่วยน้อยกว่าหลักสิบ 10 เท่า หลักสิบน้อยกว่าหลักร้อย 10 เท่า ตามลำดับ

4).เลขฐานสิบหก

เลขฐานสิบหก มีความสัมพันธ์กับเลขฐานสอง คือ เลขฐานสองจำนวน 4 หลัก แทนด้วย
เลขฐานสิบหก 1 หลัก ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนเลขฐานสอง 8 บิทแทนด้วยเลขฐานสิบหก 2 บิท การใช้เลขฐานสิบหกแทนเลขฐานสองทำให้จำนวนบิทสั้นลง
การเปลี่ยนฐานเลข (Base Number Conversion)

เนื่องจากตัวเลขในแต่ละฐานมี ค่าคงที่เฉพาะ ในแต่ละหลักของตัวเอง เช่นตัวเลข 100 มีค่าเท่ากับหนึ่งร้อยในระบบเลขฐานสิบ แต่ตัวเลข 100 ในระบบ
เลขฐานสอง (อ่านว่า หนึ่ง-ศูนย์-หนึ่ง) ซึ่งมีค่าเท่ากับ 4 เป็นต้น ดังนั้น จึงไม่สามารถนำค่าของเลขฐานใดๆ ไปคำนวณเปรียบเทียบ กับเลขฐานอื่นได้โดยตรง
เมื่อต้องการคำนวณหรือเปรียบเทียบตัวเลข (ประมวลผล) จำเป็นต้องเปลี่ยนฐานเลขเหล่านั้นให้เป็นฐานเดียวกันก่อน การเปลี่ยนฐานเลขสามารถกระทำได้
หลายวิธี ในหน่วยเรียนนี้จะใช้วิธีที่สะดวกที่สุดวิธีหนึ่ง ดังนี้
ก่อนเปลี่ยนฐานเลขใดๆ จำเป็นต้องทราบค่าคง ที่เฉพาะในแต่ละหลักของเลขฐานสองดังนี้


ตาราง แสดงค่าคงที่เฉพาะในแต่ละหลักของเลขฐานสอง


จากตาราง พบว่าค่าคงที่เฉพาะ จะมีค่าเป็น 2 เท่า จากขวาไปซ้าย
การเปลี่ยนเลขฐานสอง เป็นเลขฐานสิบ
ให้นำค่าคงที่เฉพาะที่ตรงกับเลข 1 ของฐานสองมารวมกัน เช่นจำนวน (11010)2ประกอบด้วยเลข “1” จำนวน 3 ตัว
เมื่อนำค่าคงที่เฉพาะที่ตรงกับเลข 1 มารวมกัน ทำให้ได้จำนวนในฐานสิบเป็น 16+8+2 = 26 ดังนี้



นอกจากนี้การเปลี่ยนเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบยังสามารถทำได้โดย นำตัวเลขในแต่ละตำแหน่งคูณด้วยค่าประจำตำแหน่งแล้วนำมารวมกัน

ค่าประจำตำแหน่งของเลขฐานสองเริ่มตั้งแต่ 20,21,22,…
ตัวอย่างเช่น
(1011)2 = (1x23)+(0x22)+(1x21)+(1x20)
= (1x8)+(0x4)+(1x2)+(1x1)
= 8+0+2+1
= 11

การเปลี่ยนเลขฐานสิบ เป็นเลขฐานสอง

ให้พิจารณานำค่าคงที่เฉพาะหลักใดๆมารวมกัน เพื่อให้ได้ค่าเท่ากับเลขฐานสิบที่กำหนด จากนั้นเติมเลข “1“ ณ ตำแหน่งที่นำตัวเลขมารวมนั้น เช่น (26)10จะต้องใช้ค่าคงที่เฉพาะรวมกัน 3 หลัก (16+8+2) ดังนั้นจึงเติม “1” ณ ตำแหน่ง

16,8 และ 2 ตามลำดับ ส่วนตำแหน่งที่เหลือให้เติม “0”



นอกจากนี้ยังสามารถเปลี่ยนค่าจากเลขฐานสิบให้เป็นฐานสอง โดยการหารเลขฐานสิบด้วยสองไปเรื่อยๆจะได้เศษจากการหาร คือ เลขฐานสอง ที่ต้องการ ตำแหน่งของเศษที่เกิดจากการหารก็คือกำลังของเลขฐานสอง นั่นคือเศษที่ได้จากการหารครั้งแรกจะคูณด้วย 20 เศษที่ได้จากการหารด้วย 2 ครั้งที่ 2 จะคูณด้วย 2 1เป็นต้น
ตัวอย่างเช่น

การเปลี่ยนระหว่างเลขฐานอื่น (ระหว่างฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบ และฐานสิบหก)

ในที่นี้จะได้อธิบายถึงการเปลี่ยนฐานเลข ระหว่างเลขฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบ และฐานสิบหก ซึ่งใช้ในระบบคอมพิวเตอร์ทั่วไป โดยมีหลักการเบื้องต้น 3 ประการ ดังนี้

(a) เปลี่ยนเลขฐานจากโจทย์ ไปสู่เลขฐานสองก่อน (ใช้เลขฐานสองเป็นตัวเชื่อมไปสู่เลข ฐานอื่น)

(b) เลขฐานแปด 1 หลัก ประกอบด้วยเลขฐานสอง 3 หลัก คือ (111) 2
(เนื่องจากเลขฐานแปด ต้องมีค่าไม่เกิน 7)

(c) เลขฐานสิบหก 1 หลัก ประกอบด้วยเลขฐานสอง 4 หลัก คือ (1111) 2

1 1 1 1

(เนื่องจากเลขฐานสิบหก ต้องมีค่าไม่เกิน 15)


ตัวอย่างที่ 7 (75) 8 = (?)10
ตัวอย่างที่ 7 (75) 8 = (?)10

-- ใช้หลักการ (a) เปลี่ยนเลขฐานแปด เป็นเลขฐานสอง ดังนี้

-- แยก (75) 8 ออกเป็น 2 กลุ่มๆละ 3 หลัก ตามหลักการข้อ (b) โดยแยก 7 และ 5 ออกจากกัน ดังนี้

-- เปลี่ยนเลขฐานสองที่ได้ เป็นเลขฐานสิบดังนี้ (111101)2 = (?)10

ตัวอย่างที่ 8 (4C)16 = (?)10
-- แยก (4C) 16 ออกเป็น 2 กลุ่มๆละ 4 หลัก ตามหลักการข้อ (c) ดังนี้


ทำให้ได้จำนวนเลขในรูปของเลขฐานสองเท่ากับ (1001100)2
-- เปลี่ยนเลขฐานสองที่ได้ เป็นเลขฐานสิบดังนี้ (1001100)2 = (?)10


(1001100) 2 = (64+8+4) 10 = (76) 10
\ (4C)16 = (76) 10




การแปลงเลขเศษส่วนในระบบเลขฐานสิบเป็นฐานสอง

การแปลงจำนวนเต็มใช้หลักการหารด้วย 2 (หรือการหาผลบวกของค่าประจำหลักก็ได้) สำหรับการแปลงเศษส่วนใช้วิธีการคูณด้วย 2 (คูณในระบบฐานสิบ) เพื่อหาค่าที่เป็นจำนวนเต็มหรือตัวทด (ตรงกันข้ามกับการแปลงจำนวนเต็มซึ่งใช้การหารและหาเศษที่เหลือ) ค่าตัวทดที่เกิดขึ้นในการคูณแต่ละครั้งให้เก็บไว้เป็นผลลัพธ์ นำส่วนที่เป็นเศษส่วนมาทำการคูณด้วยสองต่อไป จนได้ตัวเลขครบตามจำนวนที่ต้องการ ผู้ศึกษาจงสังเกตด้วยว่าการแปลงเลขเศษส่วนไปสู่ระบบฐานสองบางจำนวนไม่อาจแทนได้อย่างถูกต้อง ปรากฎการณ์นี้เป็นที่มาแห่งความผิดพลาดและคลาดเคลื่อนในการคำนวณเลขในระบบเครื่องคอมพิวเตอร์


ตัวอย่างที่ 9 จงแปลงจำนวน 159.356 ให้เป็นจำนวนในระบบเลขฐานสองกำหนดผลลัพธ์ไม่เกิน 8 หลัก

-- จำนวนที่กำหนดให้มีสองส่วนคือ ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มได้แก่
159 แปลงเป็นจำนวนในระบบฐานสองได้ 159 = (10100001)2
-- เศษส่วนคือ .356 ทำการแปลงไปสู่ระบบเลขฐานสองด้วยการคูณด้วย
2 เก็บผลลัพธ์จากตัวแรกไปยังตัวสุดท้าย ดังนี้



ผลลัพธ์คือ ตัวทดที่ได้จากการคูณตามลำดับตั้งแต่ครั้งที่ 1 ไปจนถึงครั้งสุดท้าย (ตามลูกศร) โดยให้เขียนจุดแสดงเศษข้างหน้า
159.356 ป (10100001.01011) 2

ตัวอย่างนี้ แสดงเศษส่วนไว้เพียง 5 ตำแหน่ง ให้สังเกตว่าค่า ( .01011) 2 ไม่เรียกว่าเป็น
ค่าหลังจุดทศนิยม เพราะว่าจุดทศนิยมใช้สำหรับจำนวนในระบบเลขฐานสิบเท่านั้น เศษในระบบฐานสองข้างต้นนี้มีค่าไม่เท่ากับ .356 แต่เป็นเพียงค่าประมาณ(ที่น้อยกว่า)เท่านั้น

การแปลงจำนวนจากฐานหนึ่งไปยังอีกฐานหนึ่งเป็นต้นเหตุสำคัญของการเกิดค่าคลาดเคลื่อน (error)
ในการคำนวณต่างๆซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องระมัดระวังมาก

ตรรกศาสตร์
ตรรกศาสตร์พื้นฐาน

1.คุณสมบัติของตรรกศาสตร์พื้นฐาน
1.1ประพจน์ (Propostion)
คือ ข้อความที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น
ตัวอย่างที่เป็นประพจน์
P : 15 + 5 = 20
Q : วันนี้อากาศหนาว
R : สัปดาห์หนึ่งมี 8 วัน
S : คนทุกคนเป็นอมตะ
ตัวอย่างที่ไม่เป็นประพจน์
ช่วยเปิดไฟให้หน่อย
ห้ามรบกวน
การแทนประพจน์จะใช้สัญลักษณ์ p, q, r … เพื่อแทนประพจน์ที่แตกต่างกัน ข้อความที่มีกริยาเพียงตัวเดียวและเป็นประพจน์ จะเรียกว่าประพจน์เบื้องต้น

1.2. การเชื่อมประพจน์
โดยปกติเมื่อกล่าวถึงข้อความหรือประโยคนั้นมักจะมีกริยามากกว่าหนึ่งตัว แสดงว่าได้นำ
ประโยคมาเชื่อมกันมากว่าหนึ่งประโยค ดังนั้นถ้านำประพจน์มาเชื่อมกันก็จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ตัวเชื่อมประพจน์มีอยู่ 5 ตัว และตัวเชื่อมที่ใช้กันมากคือ
“และ” “หรือ” “ไม่” ที่เหลืออีกสองตัวคือ “ถ้า…แล้ว…” และ “…ก็ต่อเมื่อ…” เมื่อนำประพจน์เชื่อมด้วยตัวเชื่อม และ ,หรือ, ถ้า…แล้ว, …ก็ต่อเมื่อ
โดยที่ถ้า p และ q แทนประพจน์ จะเขียน



ถ้ากำหนดให้ T แทนค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นจริง
F แทนค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นเท็จ
และ p, q แทนประพจน์ใดๆ ที่ยังไม่ได้ระบุข้อความหรือแทนค่าข้อความลงไป
ประพจน์ p ู q จะเรียกว่าข้อความร่วม (conjugate statement) และจะสามารถเขียนตารางค่าความจริงของประพจน์ p ู q ได้ดังนี้


จากตารางจะพบว่า ค่าความจริงของประพจน์ p ู q จะเป็นจริงถ้าประพจน์ทั้งสองเป็นจริงนอกนั้นจะเป็นเท็จ


ประพจน์ p ฺ q เรียกว่าข้อความเลือก (disjunctive statement) เป็นข้อความที่เป็นจริงถ้า p หรือ q เป็นอย่างน้อยที่สุดหนึ่งประพจน์ แต่จะไม่เป็นจริงเมื่อทั้งสองประพจน์เป็นเท็จ ตารางค่าความจริงของ p ฺ q สามารถเขียนได้ดังนี้


ประพจน์ ~p เรียกว่านิเสธ (negation) p หมายถึงไม่เป็นจริงสำหรับ p จะเป็นจริงเมื่อ p เป็นเท็จและจะเป็นเท็จเมื่อ p เป็นจริง ตารางค่าความจริงของ ~p เป็นดังนี้


ประพจน์ p ฎ q เรียกว่าประโยคเงื่อนไขหรือข้อความแจงเหตุสู่ผล (conditional statement) ประพจน์ p เรียกว่าเหตุตัวเงื่อนและ q เป็นผลสรุป
เช่น p : นุ่นไปเที่ยวนอกบ้าน
q : คุณพ่อโทรศัพท์ตาม
ดังนั้น p ฎ q : ถ้านุ่นไปเที่ยวนอกบ้านแล้วคุณพ่อโทรศัพท์ตาม
จากการตรวจสอบเงื่อนไขนี้จะพบว่าประพจน์นี้จะเป็นเท็จกรณีเดียวคือ นุ่นไปเที่ยวนอกบ้านแต่คุณพ่อไม่โทรศัพท์ตาม ดังนั้นจะสามารถแสดงตารางค่าความจริงของประพจน์ p ฎ q ได้ดังนี้


ประพจน์ p ซq เรียกว่าประโยคเงื่อนไขสองทาง (biconditional statement) คือ ประพจน์ที่มีความหมายเหมือนกับ (p ฎ q) ู (q ฎ p) เนื่องจาก (p ฎ q) และ (q ฎ p) เชื่อมด้วยคำว่า “และ” ดังนั้น p ซq จะมีค่าความจริงเป็นจริงต่อเมื่อประพจน์ p และประพจน์ q มีค่าความจริงเหมือนกัน ดังตารางต่อไปนี้



จากตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมทั้ง 5จะพบว่า
1. ~ p มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับค่าความเป็นจริงของ p
2. p ู q เป็น T กรณีเดียวคือกรณีที่ทั้ง p และ q เป็น T
3. p ฺ q เป็น F กรณีเดียวคือกรณีที่ทั้ง p และ q เป็น F
4. p ฎ q เป็น F กรณีเดียวคือกรณีที่ทั้ง p เป็น T และ q เป็น F
5. p ซ q เป็น T เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเหมือนกัน


1.3. สัจนิรันดร์ (Tautology)

หมายถึงประพจน์ผสมที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี ไม่ว่าจะประกอบขึ้นจากประพจน์ย่อยที่มีค่าความจริงเป็นอย่างไร อาทิเช่น


การทดสอบว่าประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ทำได้ 2 วิธีคือ
1. ใช้ตารางค่าความจริง เพื่อดูว่ามีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณีจริงหรือไม่
2. ใช้การทำ Contradiction คือการบังคับให้ประพจน์นั้นเป็นเท็จ ถ้าสามารถทำให้ประพจน์นั้นเป็นเท็จได้สำเร็จ แสดงว่าประพจน์นั้นไม่เป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้าไม่สามารถบังคับให้ประพจน์นั้นเป็นเท็จได้ ประพจน์นั้นจะเป็นสัจนิรันดร์ทันที

1.4. กฎของการแทนที่ กฎของการแทนที่เป็นกฎที่ใช้แทนที่กันได้เนื่องจากเป็นข้อความที่สมมูลกัน มีดังต่อไปนี้


ทฤษฎีพื้นฐานของพีชคณิตบูลีน